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Matemática 51
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
14.
Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función $f$. Dar la imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Graficar $f$.
a) $f(x)=x^2-9$
a) $f(x)=x^2-9$
Respuesta
Identifiquemos primero qué tipo de estructura de función cuadrática tenemos (polinómica, factorizada o canónica).
Es polinómica: $f(x) = ax^2 +bx + c$, donde $a = 1$, $b = 0$ y $c = -9$
El vértice de la función se encuentra en el punto $(Xv, Yv)$, donde $Xv = \frac{-b}{2a}$ y $Yv = f(Xv)$.
En este caso, $a = 1$ y $b = 0$, por lo que $Xv = \frac{-0}{2 \cdot 1} = 0$. Sustituyendo este valor en la función, se obtiene $Yv = f(0) = (0)^2 - 9 = -9$.
$V = (0, -9)$
La imagen de la función depende del signo de $a$ y del valor de $Yv$. Como $a>0$ la imagen tendrá la forma $[Yv, +\infty)$.
$\text{Im}f = [-9, +\infty)$
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento dependen del signo de $a$ y del valor de $Xv$. Como $a>0$ los intervalos tendrán la forma $I\uparrow = (Xv, +\infty)$ e $I\downarrow =(-\infty, Xv)$
$I \uparrow = (0, +\infty)$
$I \downarrow = (-\infty, 0)$
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